Когда мы изучаем экспоненциальный рост некоторого организма (например, цианобактерий), если темп роста составляет $6,25\%$, то количество через $x$ дней можно выразить как $y = (1 + 6,25\%)^x$. Что делать, если $x$ не является целым числом (например, $1,5$ дня)? Имеет ли смысл эта формула? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо расширить определение показателя степени с целых чисел до рациональных и даже действительных чисел — это неизбежный шаг в развитии системы чисел.
$n$-й корень и дробные показатели степени
Определение $n$-го корня: Обычно, если $x^n = a$, то $x$ называется $n$-м корнем из $a$, где $n > 1$ и $n \in \mathbf{N}^*$. Выражение $\sqrt[n]{a}$ называется радикалом.
Дробные показатели степени: Для упрощения свойств операций мы определяем положительные дробные показатели степени положительного числа как: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ при $a > 0$. Это означает, что все радикалы можно преобразовать в степенную форму для выполнения операций.
Радикалы являются проявлением операции возведения в степень в дробной степени. Определение дробных показателей степени позволяет устранить разрыв между корнями и степенями, обеспечивая единообразие свойств операций.
$$(\sqrt[n]{a})^n = a, \quad \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}} \text{ при } b > 0$$